有限要素法とは何者かを理解する


技術士一次試験・基礎科目においては、有限要素法に関する問題が多く出題されています。私がまとめた過去１３年間の出題表をみると、カテゴリーＣ（解析）中のＣ０６、Ｃ０７、Ｃ０８、Ｃ０９、Ｃ１０、Ｃ１１，Ｃ１７が有限要素法に関する出題です。平成１６年度～平成２８年度の１３年間で、このカテゴリーＣに属する出題は７１問で、その内１４問が有限要素法に関するものです。最近の５年間を見ても、出題２９問中の７問が有限要素法に関するもので、高い出題頻度となっています。

有限要素法になじみのある機械部門や建設部門の方などにとっては簡単な問題が出題されているということになるでしょうが、それ以外の分野の方にとっては有限要素法に触れる機会は少なかったものと思います。化学部門の技術士である私も、この分野については素人です。

知らないから最初からあきらめるのか？　知る努力をするのか？　受験という時間との戦いの中で、この判断には微妙なものがあります。しかしながら、有限要素法の考え方は工学を操るものとしては知っておくべき分野であると考えます。

そこで、このサイトでは、有限要素法についての私のにわか勉強の成果を、流れを作りながら記していきます。知らないことを知ろうと努力した結果ですので、論理のながれは出来ているものと思っています。



参考にしたＷｅｂなど

（１）ＭＯＮＯ　有限要素法（機械設計エンジニアの基礎知識）（ＭＯＮＯ）
（２）ＩＳＴ　　　　有限要素法（設計者ＣＡＥを始める前にシッカリ学ぶ有限要素法）（ＭＯＮＯｉｓｔ）
（３）基本　　　基本からわかる有限要素法（邵長城著、２００８年、森北出版）

（３）は「基礎からわかる」と書いてありますが、決して「簡単」とは書いてはありません。しかしながら、本書を読むと、有限要素法がどのようなものであるかを実感として理解することができました。斜めに目を通すだけでも、得るところは大きいでしょう。定価は３４００円＋税、Ａｍａｚｏｎでの古本価格は現在（２０１６年１２月１８日）、１０００円＋送料、となっています。


有限要素法は解析したいものをメッシュに分割する（ＭＯＮＯ）

分割の仕方には、一次元はビーム（直線）、二次元はシェル（三角形、四角形）、三次元はソリッド（四面体、六面体など）がある。三角形と四角形では四角形の方が計算精度が高い。

分割した形状の頂点を節、節に囲まれる部分をシェルという。

節と節の間にさらに節点を設ける場合があり、この設けた節点のことを中間節点という。
中間節を設けないものを１次要素、１個の節点を設けるものを2次要素、そして２個の節点を設けるものを3次要素という。

中間点を設けると計算精度が向上する。１次要素はシェル内を一次式で、２次要素はシェル内を２次式で、３次要素はシェル内を３次式で表現する。次数が高いほど実際の数値との近似が高まり、計算精度が向上する。（誤差の項目で記す）
メッシュを細かくするほど（細かく分割するほど）計算精度は上がる。メッシュ分割が粗いと計算結果は不安全側（応力が小さく評価される側）の結果を与える。


４面体要素（立体、３次元）は２次要素を使う（ＩＳＴ）

プログラムが自動的にメッシュ切（要素分割）をしてくれる。
2次要素で得られる結果は正確性が高く安全サイド。


メッシュ分割（ＭＯＮＯ）

細かく分割すると計算結果は理論値に近づくが、計算時間が長くかかる。

応力が集中する部分は細かく分割する。


計算精度（IST)

有限要素にも良し悪しがあります。その要因はズバリ、要素の精度です。

ソリッド要素について見ていきましょう。伝統的に好まれるのが6面体要素です。6面体要素はほかの要素と比べて相対的に精度が高い要素といわれています。一方で、4面体要素は相対的に精度があまり良くないといわれています。

※　平面でも精度は□＞△、中間節点を設けると精度がよくなる。


節点は自由度を持っている（ＩＳＴ）

並進が２成分、回転が３成分、合わせて６成分。これをの自由度という。


要素内の値（基本）

１次要素ではシェル内の値は、２つの節点の値を与える１次式（ｕ＝ａｘ＋ｂ）により求められる（基本ｐ６１）
２次要素ではシェル内の値は、２つの節点と中間節点の値を与える２次式（ｕ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ）により求められる（基本ｐ６４）

双１次四辺形要素（基本ｐ８１）

右の図に示すように、節点１～４を持つ四辺形で、中間節点がないことから、シェル内の値は節点１～４の値に基づいた１次式で与えられる。

  Ｎ１＝１／４×（１－ξ）（１－η）   　Ｎ２＝１／４×（１＋ξ）（１－η）
  Ｎ３＝１／４×（１－ξ）（１－η）   　Ｎ４＝１／４×（１－ξ）（１＋η）

①　Ｎ１～Ｎ４はξ、またはηの１次多項式である。
②　Ｎｉ（ξｊ、ηｊ）（ｉ＝１，２，３，４、ｊ＝１，２，３，４）は　ｉ≠ｊのとき ０、　ｉ＝ｊのとき １
③　Ｎ１＋Ｎ２＋Ｎ３＋Ｎ４＝１

右図中の任意の座標ｘ、座標ｙでの値は

　ｘ＝Ｎ１ｘ１＋Ｎ２ｘ２＋Ｎ３ｘ３＋Ｎ４ｘ４
　ｙ＝Ｎ１ｙ１＋Ｎ２ｙ２＋Ｎ３ｙ３＋Ｎ４ｙ４

となる。		  

（参考）２次四辺形要素（基本ｐ９１）

上図の節点１～４のちょうど中間節点、すなわち四辺形の辺の上に中間節点を持つ２次四辺形要素については、シェル内の値は次式で与えられると記されている。

 Ｎ１＝（－（１－ξ）（１－η）（１＋ξ＋η））／４  　 Ｎ２＝（１－ξ２）（１－η）／２
 Ｎ３＝（－（１＋ξ）（１－η）（１－ξ＋η））／４ 　 Ｎ４＝（１＋ξ）（１－η２）／２
 Ｎ５＝（－（１＋ξ）（１＋η）（１－ξ－η））／４  　Ｎ６＝（１－ξ２）（１＋η）／２
 Ｎ７＝（－（１－ξ）（１＋η）（１＋ξ－η））／４  　Ｎ８＝（１－ξ）（１－η２）／２

①　２次多項式である。
②　Ｎｉ（ξｊ、ηｊ）（ｉ＝１，２，３，４、ｊ＝１，２，３，４）は　ｉ≠ｊのとき ０、　ｉ＝ｊのとき １
③　Ｎ１＋Ｎ２＋Ｎ３＋Ｎ４＋Ｎ５＋Ｎ６＋Ｎ７＋Ｎ８＝１

　ｘ＝Ｎ１ｘ１＋Ｎ２ｘ２＋Ｎ３ｘ３＋Ｎ４ｘ４＋Ｎ５ｘ５＋Ｎ６ｘ６＋Ｎ７ｘ７＋Ｎ８ｘ８
　ｙ＝Ｎ１ｙ１＋Ｎ２ｙ２＋Ｎ３ｙ３＋Ｎ４ｙ４＋Ｎ５ｙ５＋Ｎ６ｙ６＋Ｎ７ｙ７＋Ｎ８ｙ８

である。		  




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