| 待ち行列問題を考えてみる このページでは、技術士一次試験で出題された待ち行列問題を、１．出題された方法に従って解く、２．シミュレーションを用いて得く、の２通りの解法を示しています。 当然のことながら、１．の方法では、設問が求める答えが得られます。そして、その解き方が一般的な方法であることは、下に示すように、他のＷｅｂサイトでも確認しています。 ２．の方法では、待ち行列の原理に基づき、ＥｘｃｅｌのＶＢＡ（プログラミング機能）により待ち行列の発生をシミュレーションし、答えを得ようとしました。 結果は、１．と２．で異なる平均対応時間となってしまいました。その原因について、考えているところです。ここに問題があるとのご指摘が頂けると幸いです。どこかに小さな間違いがあるとは思うのですが、それを自分自身で見つけることは難しい子ｔｐです。 技術士一次試験 基礎科目で出題された問題文 待ち行列問題はオペレーションズ・リサーチ（ＯＲ）の代表的な問題で、その手法は広く利用されています。銀行の窓口と待ち時間、病院での待ち時間などがその典型例でしょう。 さて、技術士一次試験・基礎科目ではこの待ち行列に関する問題が過去に３回出題されています。平成２７年Ⅰ－１－２（平成２３年Ⅰ－１－２と同じ問題）と平成２５年Ⅰ－１－５で、全問同じ方法で解けます。 出題された問題を示します。 平成２７年 Ⅰ－１－２  平成２５年 Ⅰ－１－５  １．問題文に沿った解法 どちらも同じ問題であることが分かります。銀行ＡＴＭであるか、駅の改札であるかの違い程度でしょう。 上の問題、銀行のＡＴＭ、の解き方について少し考えてみます。  ＡＴＭでの平均処理時間は１人当たり３０秒と示されています。赤四角で「処理に要する時間は指数分布にしたがう」を囲いましたが、この問題では、処理に要する時間は分布なしの３０秒です。ＡＴＭの扱いがわからずに時間がかかる人、パスワードを入れ間違えて再入力する人、いくら引き出そうかとその場で考える人など、諸々の条件の結果としての指数分布は加味されていません。計算が複雑になり、与えられた短い時間では解答不能に陥るというのがその理由でしょう。 平均処理時間は３０秒、単位時間当たり（１時間当たり）の処理人数は１２０人となります。 技術士一次試験・基礎問題 平成１６年～２８年の解答集の中のＡ１６（待ち行列）では解答次のようになっています。 （引用） H27年 Ⅰ－１－２ と H23年 Ⅰ－１－２ （赤字はこの問題が簡単な問題（サービス問題）であることを示している） オペレーションズ・リサーチに関する典型的な問題である。 数式に値を代入すればよいだけであるので、他のオペレーションズ・リサーチとは別の分類としている。 H２７年 Ⅰー１－２ H２７年度問題 正答： ④ （解答） 単位時間を１時間とする。 単位時間あたりの平均到着人数Ａ＝５０人 単位時間あたりの平均処理人数Ｂ＝１２０人（３６００／３０） 利用率Ｃ=Ａ／Ｂ＝５０／１２０＝０．４１７ 待ち行列長Ｄ＝Ｃ÷（１－Ｃ）＝０．７１５ 平均待ち時間Ｅ＝Ｄ×平均処理時間（３０秒）＝２１秒 平均対応時間＝Ｅ＋平均処理時間（３０秒）＝５１秒 素直に設問の数字を変数に代入していけば答えに至ります。 （引用終わり） この問題を解くポイントは４つある式の間の関係（構造）を理解することです。上で問題文に赤線を入れて示したように、少しだけ入り組んでいます。問題文のオリジナルを示し、その関係を整理しなおすと次のようになります。処理する順番が理解できればこの問題は簡単に解けます。そんな複雑に考えなくても、分かった数値を代入していき、左辺に数字が現れれば、次の式へと進んでいく。この行き当たりばったり法でもこの問題は簡単に解けると思います。 （問題文） 待ち行列 ＝ 利用率 ÷ （１－利用率） 平均待ち時間 ＝ 待ち行列長 × 平均処理時間 利用率 ＝ 単位時間当たりの平均到着人数 ÷ 単位時間当たりの平均処理人数 平均対応時間 ＝ 平均待ち時間 ＋ 平均処理時間 （解答） 赤字は問題文よりすでに与えられているもの 利用率 ＝ 単位時間当たりの平均到着人数 ÷ 単位時間当たりの平均処理人数 待ち行列 ＝ 利用率 ÷ （１－利用率） 平均待ち時間 ＝ 待ち行列長 × 平均処理時間 平均対応時間 ＝ 平均待ち時間 ＋ 平均処理時間 式を並べ替えると、なんなくこの問題が解けることが分かります。
２．シミュレーションによる解法 ポアソン分布と指数分布関数 ポワソン分布（Ｗｉｋｉｐｅｄｉａ） 定数λ＞０に対し、自然数を値にとる確率変数Ｘが Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝λｋｅｘｐ（－λ）／ｋ！ を満たすとき、確率変数Ｘはパラメータλのポアソン分布に従うという。 （注釈を加える） λは単位時間中に事象が発生する平均回数 ｐ（ｘ＝ｋ）は単位時間中に事象がｋ回発生する確率密度
指数分布（Ｗｉｋｉｐｅｄｉａ） 指数分布は、正のパラメータλに対して確率密度関数が、 ｆ（ｘ；λ）＝λｅｘｐ（－λｘ） （ｘ≧０）、 ＝０ （λ＜０） で与えられる分布である。このとき、累積分布関数は Ｆ（ｘ；λ）＝１－ｅｘｐ（－λｘ） （ｘ≧０）、 ＝０ （λ＜０） （注釈を加える） λは単位時間中に事象が発生する平均回数 ｆ（ｘ；λ）は事象の発生間隔がｘ単位時間である確率密度
もう少し分かり易く書くと、 単位時間あたり平均λ回起こるランダムなイベントに対して、 （１）単位時間に事象が起きる回数は平均λのポアソン分布に従い （２）事象発生間隔は平均１／λの指数分布に従う。 以上のことを踏まえ、さらに、成書「ＥｘｃｅｌによるＯＲ演習（藤田勝康、日科技連、２００２年）の解法に従って解いていく。 ５．２ 待ち行列シミュレーション （ｐ．１２０） 客が１時間（６０分）当たり３０台到着すると仮定します。つまり、平均到着率λ＝３０／６０＝０．５人/分 平均到着間隔 １／λ＝２分／人 到着の分布と到着間隔は、客が１分間に平均２人、ランダムに到着すると仮定したので、到着時間の間隔は平均（１／λ）＝２分の指数分布に従います。式で書くと、 ｙ ＝ ｅｘｐ（－λｖ） となります。ここで ｖ は客の到着時間間隔、 ｙ はその時間間隔に着く確率です。ｙ は確率ですから、０から１の間の数値となります。 ｖ ＝ －１／λ×ｌｎ（ｙ） ＝ －２ｌｎ（ｙ） この ｙ に０から１の乱数を代入すれば、到着時間間隔の乱数 ｖ が計算できます。 以上のことを踏まえると、上の問題で客のＡＴＭへの到着時間の間隔 は平均 １／λ の指数分布に従い、式で書くと、 ｙ ＝ ｅｘｐ（－λｖ） ただし、ｖ は客の到着時間間隔、ｙ はその時間間隔に到着する確率です。 プログラムを組んで順次計算をすすめます。
５０人目までの計算は右表のようになります。 １人目はＡＴＭが開いてから２秒後に到着しますが、処理に３０秒かかるので、この１人目がＡＴＭから出ていくのはＡＴＭが開いてから３２秒後となります。 ２人目は１１秒後に到着し、すぐにＡＴＭでの処理をはじめられれば良いのですが、１人目がまだ処理中ですので、結局３２秒から処理を始めて６２秒にその処理が終わることになります。 この要領で５０人目まで処理を続けます。５０人目の到着時間は３７０４秒で約１時間（３６００秒）が経過していることが分かります。 ＡＴＭでの処理時間を含めた待ち時間は、処理にかかる時間（終了（秒））から到着時間（秒）を引いた時間となり、下の表では５０人の平均が４１．３秒となります。 １００００人がこのＡＴＭを使用する場合のトライアル計算を５回行いました。 ５０人で約１時間ですから、１００００人では約２０時間分の計算です。人数が少ない時には得られる誤差が大きくなりますが、１００００人の計算ともなりますと、得られる値はある程度収斂してきます。 下の表は５回のトライアルの結果です。 まず、処理人数ですが、１時間当たり５０．０人です。到着からＡＴＭでの処理が終了するまでの時間は平均で４０．３秒と求まりました。
 ３．残る問題 ２．の問題文に沿った解法では、５１秒という答えが得られ、これは日本技術士会が示している正答とも一致している。 一方、２．のシミュレーションによる解法で得られるＡＴＭ到着からその処理が終わるまでの時間は約４０秒となり、答えが異なった。 シミュレーションで正答が得られていないことを前提に、この得られた結果の差がどこにあるか、その可能性を見ていくと、 今回シミュレーションに用いた式は、 ｙ ＝ ｅｘｐ（－λｖ） であるのに対し、指数分布で与えられている式は、 ｆ（ｘ；λ）＝λｅｘｐ（－λｘ） （ｘ≧０）、 ＝０ （λ＜０） である。 この指数項にλがかかっているかいないかの差である。 λを掛けた式でシミュレーションを試みたが、１時間当たりの到着人数が前提（１時間当たり５０人）から変動してしまい、思うような結果とはなっていない。 ４．現在の結論 問題は問題として認識し、シミュレーション方法が見いだせるまではしばらくは何もせずに、このままとしておく。 技術士一次試験・基礎科目 平成１６年～２８年３５６問題解答集に戻る |
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