C06  有限要素法 基本



努力目標

  理解し覚える




技術士試験の問題からは必要最小限の引用にとどめる。(問題)が記されている部分はその引用である。

問題および解答は日本技術士会のホームページより必要に応じて入手してください。

  技術士第一次試験の問題       技術士第一次試験の正答(答え)  



問題番号が赤字のものは、ボーナス問題


有限要素法 数値解析精度

H27年 1-3-3   H26年 Ⅰ-3-2   H18年 Ⅰ-3-1

H17年 Ⅰ-3-2


同じ問題

H27年 Ⅰ-3-3 と H17年 Ⅰ-3-2



有限要素法記述に関する正誤

H24年 Ⅰ-3-1   H23年 Ⅰ-3-1   H19年 Ⅰ-3-2

H18年 Ⅰ-3-4

同じ問題

H24年 Ⅰ-3-1 と H19年 Ⅰ-3-2




有限要素法の数値解析精度



H27年 Ⅰ-3-3

H27年度問題 

正答: ①

(解答)

① 下に示したWikipediaからの引用の通り。
② 曲線を直線で近似する段階で、すでに誤差が入り込んでいる。
③ 格子幅が広いと、通常は誤差が大きくなる。
④ 要素分割を小さくすると誤差は小さくなる。
⑤ アルゴリズムにより計算精度を変えることができる。


(参考)

誤差(Wikipedia) 実例を示し、解説されています(詳細はWikipediaのページへ)。誤差の原因に関する部分を抜粋しました。

計算誤差の種類

丸め誤差

数値を、どこかの桁で端数処理(切り上げ・切り捨て・四捨五入・五捨六入・丸めなど)をしたときに生じる誤差。

打ち切り誤差

計算処理を続ければ精度がよくなるにもかかわらず、途中で計算を止めること(打ち切り)によって生じる誤差。

情報落ち

コンピュータでの計算のときのように有効桁数が限られている条件下で、絶対値の大きい数と絶対値の小さい数を加減算したとき、絶対値の小さい数が無視されてしまう現象。

桁落ち

桁落ち(けたおち)とは、値がほぼ等しく丸め誤差を持つ数値同士の減算を行った場合、有効数字が減少すること。絶対値がほぼ等しく符号が異なる数値どうしの加算の場合も同様。浮動小数点数では、上位の桁がゼロになると、正規化によってそれを詰め、以下の桁に"0" を強制的に挿入するので、下位の桁が信頼できないものになる。特別な場合には、演算式を変形することによって、桁落ちを避けることができる。

各数値形式に発生する誤差

数値形式 浮動小数点数 固定小数点数 整数
打ち切り誤差
桁あふれ
丸め誤差 (○) (○)
情報落ち    
桁落ち    

○印は誤差が発生しうることを示す




H26年 Ⅰ-3-2

H26年度問題 

正答: ③

常識を問う問題です。

(解答)

① 要素分割を細かくすると精度が向上します。
② 高次の分割を行うことで精度が向上します。下の(参考)をご覧ください。
③ 収束判定条件を緩和することは、誤差の大きさを許容することになる。
④ 曲率の小さな部分などは細かく要素分割する必要がある。
⑤ 倍精度は単精度に対して扱える数値の有効桁数が多い。


(参考)

有限要素法(機械設計エンジニアの基礎知識)よりの引用です。
ここに引用したのはどの一部です。詳しく、しかも分かり易く解説されています。

メッシュのタイプと計算精度

メッシュには、以下のタイプが存在します。

メッシュのタイプによって、計算精度が異なります。
三角形と四角形では四角形の方が計算精度がよいです。

 計算精度をさらに良くするためには、メッシュの次数を上げます。

「メッシュの次数を上げる」 とは、接点間に中間節点を入れるということです。先ほどの要素が 「1次要素」 であるのに対して、中間節点を入れた要素を 「2次要素」 といいます。

1次要素ではこの中間節点がない。




H18年 Ⅰー3-1

H18年度問題 

正答: ① 

常識的に判断できる問題です。

(解答)

① 反復回数が多い場合、収束判定条件を緩和すると、結局は早い段階で収束と判定されることになる、反復回数が多いという、この言葉自体が意味を持たなくなります。
② 近似する段階で誤差の要因を作っている。
③ 格子幅を広くすれば、当然、近似誤差は大きくなる。
④ 要素分割を細かくすると、近似誤差は小さくなる。逆に、計算必要時間が長くなる。
⑤ 計算の手順、あるいは、計算に用いる手法を変えることにより、誤差の減少が見込める。




有限要素法の記述に関する正誤



以下の一連の問題では誤っているものを選ぶ。
従って、5つの設問の内の4つは正解である。
誤っているものの一部は問題文を正解に戻して記述した。

こういうものだと、ひたすら記憶する。



H24年 Ⅰ-3-1

H24年度問題 

正答: ① 

(解答)

「粗い要素分割で解析した場合には常に変形は小さくなり応力は高めになるので、応力評価に関しては安全側である。」は誤り。
応力評価に関しては不安全側である。下の(参考)を見てください。

要素分割の影響を見るため、できれば複数の要素分割によって解析を行い、結果を比較するのが望ましい。

ある荷重に対して有効性が確認された要素分割でも、他の荷重に対しては有効とは限らない。

応力の変化が小さい部分に対しては、応力自体の大小にかかわらず要素分割の影響は小さい。

応力の変化が大きい部分に対しては、要素分割を細かくするべきである。



(参考)

超重要! メッシュサイズと8つの質問(設計者CAEを始める前にシッカリ学ぶ有限要素法)より抜粋





H23年 Ⅰ-3-1

H23年度問題 

正答: ②

(解答)

応力値は、隣接要素との共通辺を横切るとき不連続となる。

「応力値は、要素内で一定である。」は誤り。
一定でない。

一般に、解析精度は、要素形状に依存する。 変位は、要素形状によらず隣接要素との共通辺上で連続となる。

一般に、解析精度は、要素分割の細かさに依存する。


有限要素法では節点の変位(並進変位と回転変位){u}を未知数とします。
要素内の変位分布(変位関数)を仮定します。(上のH26年 Ⅰ-3-2の図を参照)
 一次要素であれば変位は座標の1次関数で表します。ひずみと応力は、変位の一次微分で表され、要素内で一定となります。
 二次要素であれば変位は座標の2次関数で表します。ひずみと応力は、要素内で線形分布となり、精度が改善されます。


(参考)

有限要素法による構造物の応用・ひずみ解析の基本手法より




四角形アイソパラメトリック要素より







H18年 Ⅰ-3-4

H18年度問題 

正答: ② 

(解答)

① この要素の要素内変位は座標の一次式で変化する。

② この要素の要素内ひずみは座標の一次式で変化する。

③ この要素の応力は要案内で一定である。

④ 要素剛性行列は6行6列である。

⑤ 一般に,隣接要素間で応力値は不連続となっている。



① は 要素内変異 は座標の一次式
② は 要素内ひずみは座標の一次式

①か②のどちらかが誤りである。変異を微分するとひずみとなるので、一次式の1次微分は定数となり、一次式ではない。
従って、②が誤り。

問題文に二次元線形弾性問題と断ってあるので、x方向、y方向ともに変位は座標の一次関数で表される。

有限要素法では節点の変位(並進変位と回転変位){u}を未知数とします。
要素内の変位分布(変位関数)を仮定します。
 一次要素であれば変位は座標の一次関数で表します。ひずみと応力は、変位の一次微分で表され、要素内で一定となります。
 二次要素であれば変異は座標の二次関数で表します。ひずみと応力は、要素内で線形分布となり、精度が改善されます。





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